Testy do podręcznika — klasy 4-8

Wielokrotności liczby otrzymujemy, mnożąc ją kolejno przez 1, 2, 3, 4… Na przykład wielokrotności liczby 6 to 6, 12, 18, 24, 30 i tak dalej — mnożymy 6 razy kolejne liczby naturalne. Każda liczba ma nieskończenie wiele wielokrotności, bo mnożenie nigdy się nie kończy. Sama liczba też jest swoją wielokrotnością (bo liczba razy 1 to ta sama liczba).

Dzielnik danej liczby to liczba naturalna, przez którą można ją podzielić bez reszty. Żeby znaleźć wszystkie dzielniki, sprawdzamy po kolei liczby od 1 w górę i patrzymy, czy dzielenie wychodzi bez reszty. Na przykład dzielnikami liczby 12 są: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. W przeciwieństwie do wielokrotności, dzielników jest zawsze skończenie wiele — każda liczba ma ich co najmniej dwa: 1 i samą siebie.

Kiedy dwie proste przecinają się w jednym punkcie, powstają wokół niego 4 kąty. Kąty przyległe mają wspólne ramię i leżą po przeciwnych stronach tego ramienia na jednej prostej — razem tworzą kąt półpełny, czyli zawsze sumują się do 180°. Dzięki temu, znając jeden z kątów przyległych, łatwo obliczymy drugi: wystarczy odjąć go od 180°. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciwko siebie (powstają z przedłużenia tych samych dwóch prostych) i zawsze mają dokładnie taką samą miarę. Na przykład: jeśli jeden z kątów ma 70°, to kąt do niego wierzchołkowy też ma 70°, a oba kąty do niego przyległe mają po 110° (bo 180° − 70° = 110°).

Kiedy trzy różne proste przecinają się w jednym wspólnym punkcie, dzielą przestrzeń wokół niego na 6 kątów. Kąty te układają się w 3 pary kątów wierzchołkowych — czyli kątów leżących naprzeciw siebie, które zawsze są sobie równe, bo powstają z przedłużenia tych samych dwóch prostych. Sąsiadujące ze sobą kąty (mające wspólne ramię) to kąty przyległe i — tak jak przy dwóch prostych — każda taka para sumuje się do 180°. Znając miarę jednego z sześciu kątów, można więc wyznaczyć pozostałe, korzystając z tych dwóch zależności. Suma wszystkich sześciu kątów wokół punktu wynosi zawsze 360°.

Duże liczby zapisujemy, dzieląc je od prawej strony na grupy po trzy cyfry (jedności, tysiące, miliony…) — to ułatwia ich odczytanie. Żeby porównać dwie liczby, najpierw patrzymy, która ma więcej cyfr — ta jest większa. Jeśli liczby mają tyle samo cyfr, porównujemy je cyfra po cyfrze, zaczynając od lewej strony, aż znajdziemy pierwszą różnicę — liczba z większą cyfrą na tym miejscu jest większa.

Żeby sprawdzić, o ile jedna liczba jest większa lub mniejsza od drugiej, odejmujemy mniejszą liczbę od większej — wynik tego odejmowania to szukana różnica. Na przykład, żeby dowiedzieć się, o ile 15 jest większe od 9, liczymy 15 − 9 = 6. Ważne jest, żeby zawsze odejmować liczbę mniejszą od większej, inaczej wynik będzie ujemny i nie będzie miał sensu w takich zadaniach.

Żeby łatwiej dodawać w pamięci, warto dopełnić jedną liczbę do pełnej dziesiątki, a resztę dodać na końcu — np. 38 + 25 liczymy jako 38 + 2 + 23 = 40 + 23 = 63. Przy odejmowaniu działa podobny trik: zaokrąglamy odejmowaną liczbę w górę, odejmujemy, a potem korygujemy wynik — np. 52 − 19 = 52 − 20 + 1 = 33. Takie sposoby są szybsze niż liczenie "słupkiem" w głowie.

Warto zapamiętać przydatne pary liczb, które dają w wyniku 100: 25 × 4 = 100, 5 × 20 = 100, 2 × 50 = 100. Dzięki nim można szybko przegrupować mnożenie, np. 25 × 8 policzysz jako 25 × 4 × 2 = 100 × 2 = 200. Podobne triki działają przy dzieleniu — jeśli znasz tabliczkę mnożenia na pamięć, dzielenie to po prostu szukanie brakującego czynnika.

Zapisujemy liczby jedną pod drugą tak, żeby jedności były pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami i tak dalej, a potem dodajemy kolumnami od prawej do lewej. Gdy suma cyfr w danej kolumnie przekracza 9, zapisujemy tylko cyfrę jedności wyniku, a pozostałą "1" przenosimy do następnej kolumny w lewo i dodajemy ją tam. Taki sposób pozwala dodawać nawet bardzo duże liczby bez pomyłek.

Podobnie jak przy dodawaniu, zapisujemy liczby jedną pod drugą i odejmujemy kolumnami od prawej do lewej. Gdy cyfra w liczbie odjemnej (górnej) jest mniejsza niż cyfra pod nią, "pożyczamy" 1 z sąsiedniej kolumny po lewej — czyli zamieniamy jedną jednostkę wyższego rzędu na 10 jednostek niższego rzędu. Trzeba wtedy pamiętać, żeby w tamtej kolumnie odjąć o 1 mniej.

Mnożymy każdą cyfrę liczby, zaczynając od prawej strony, przez mnożnik jednocyfrowy, pamiętając o przenoszeniu do następnej kolumny — dokładnie tak, jak przy dodawaniu pisemnym. Jeśli wynik mnożenia w danej kolumnie ma dwie cyfry, zapisujemy jedności, a dziesiątki przenosimy i dodajemy do wyniku mnożenia w kolejnej kolumnie.

W systemie dziesiątkowym wartość cyfry zależy od jej miejsca (pozycji) w liczbie — każda kolejna pozycja w lewo jest 10 razy większa: jedności, dziesiątki, setki, tysiące i tak dalej. Na przykład w liczbie 4273 cyfra 2 oznacza 2 setki, czyli 200, a nie po prostu "2". Dlatego liczbę można rozpisać jako sumę: 4273 = 4000 + 200 + 70 + 3.

Porównując liczby naturalne, najpierw sprawdzamy, która ma więcej cyfr — więcej cyfr zawsze oznacza większą liczbę (np. 999 < 1000). Przy tej samej liczbie cyfr porównujemy je od lewej do prawej, cyfra po cyfrze, aż znajdziemy pierwszą różnicę — ta pozycja decyduje, która liczba jest większa. Reszta cyfr po prawej stronie nie ma już znaczenia.

Duże, "okrągłe" liczby (czyli zakończone zerami) można dodawać i odejmować w pamięci, licząc w jednostkach setek albo tysięcy, a nie pojedynczych jedności — np. 3000 + 4500 liczymy jako 3 tysiące + 4,5 tysiąca = 7,5 tysiąca = 7500. Taki sposób znacznie przyspiesza rachunki, zwłaszcza gdy liczby mają dużo zer na końcu.

Prosta ciągnie się w obie strony bez końca — nie ma ani początku, ani końca. Półprosta ma jeden konkretny początek, a w drugą stronę ciągnie się bez końca, tak jak promień słońca wychodzący z jednego punktu. Odcinek ma dwa wyraźne końce — jest najkrótszą możliwą drogą łączącą dwa punkty, dlatego to właśnie odcinki mierzymy linijką.

Dwie proste narysowane na tej samej płaszczyźnie mogą znajdować się względem siebie na trzy sposoby: mogą się przecinać (mieć dokładnie jeden wspólny punkt), być równoległe (nigdy się nie spotkać, nawet przedłużone w nieskończoność) albo się pokrywać (być w rzeczywistości tą samą prostą, narysowaną dwa razy). Warto umieć rozpoznać każdy z tych trzech przypadków na rysunku.

Odcinki prostopadłe przecinają się dokładnie pod kątem prostym, czyli 90° — poznasz je po charakterystycznym kwadraciku zaznaczanym w miejscu przecięcia na rysunku. Odcinki równoległe biegną cały czas w tym samym kierunku i zachowują stałą odległość między sobą, więc nigdy się nie przetną, nawet gdybyśmy je przedłużali w nieskończoność w obie strony.

Ułamek zapisujemy jako licznik nad kreską i mianownik pod kreską (licznik/mianownik). Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik mówi, ile z tych części bierzemy pod uwagę. Na przykład ułamek 3/4 oznacza, że całość podzielono na 4 równe kawałki, a interesują nas 3 z nich — tak jak 3 kawałki tortu z 4, na które go pokrojono.

Liczba mieszana to zapis składający się z liczby całkowitej i ułamka właściwego obok siebie, np. 2 1/3 (dwie całości i jedna trzecia). Żeby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, dzielimy licznik przez mianownik — iloraz staje się częścią całkowitą, a reszta z dzielenia staje się nowym licznikiem (mianownik zostaje bez zmian).

Żeby zaznaczyć ułamek na osi liczbowej, dzielimy odcinek między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi na tyle równych części, ile wynosi mianownik ułamka, a potem odliczamy tyle kresek od zera, ile wynosi licznik. Liczby mieszane zaznaczamy podobnie, tylko najpierw przesuwamy się o pełne jednostki (część całkowita), a dopiero potem doliczamy ułamek.

Ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 i tak dalej można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego, czyli liczby z przecinkiem — liczba cyfr po przecinku odpowiada liczbie zer w mianowniku. Na przykład 7/10 = 0,7 (jedno zero, jedna cyfra po przecinku), a 23/100 = 0,23 (dwa zera, dwie cyfry po przecinku).

Wyrażenie dwumianowane, czyli takie zapisane w dwóch jednostkach naraz (np. 2 zł 50 gr albo 1 m 5 cm), można zapisać jako pojedynczy ułamek dziesiętny większej jednostki — trzeba tylko wiedzieć, ile mniejszych jednostek mieści się w jednej większej. Na przykład 2 zł 50 gr = 2,50 zł, bo 50 groszy to 50/100 złotego.

Dopisanie zera na samym końcu części dziesiętnej nie zmienia wartości liczby — 0,4 to dokładnie to samo co 0,40 czy 0,400. Uwaga: dotyczy to tylko zer dopisanych NA KOŃCU! Zero dopisane w środku liczby (np. przed inną cyfrą) zupełnie zmienia jej wartość — 0,04 to zupełnie inna liczba niż 0,4.

Pole figury to liczba jednostkowych kwadratów (np. o boku 1 cm), które mieszczą się wewnątrz tej figury — mówi nam, jak dużą powierzchnię ona zajmuje. Im większa figura, tym więcej takich kwadracików się w niej zmieści, czyli tym większe jest jej pole. Pole to co innego niż obwód — obwód mierzy brzeg figury, a pole mierzy jej wnętrze.

Pole prostokąta obliczamy, mnożąc długości dwóch sąsiednich boków: P = a · b. Jednostki pola nazywamy "kwadratowymi", bo pole zawsze mierzymy w kwadracikach: milimetr kwadratowy (mm²), centymetr kwadratowy (cm²), decymetr kwadratowy (dm²), metr kwadratowy (m²) czy kilometr kwadratowy (km²).

Przy zamianie jednostek DŁUGOŚCI na mniejsze mnożymy przez 10 (np. 1 dm = 10 cm), ale przy jednostkach POLA trzeba mnożyć przez 10² = 100, bo pole to iloczyn dwóch wymiarów — obu trzeba pomnożyć razy 10. Dlatego 1 dm² = 100 cm², a nie 10 cm². To jedna z najczęstszych pułapek w zadaniach z polami — łatwo o niej zapomnieć.

Prostopadłościan to bryła przestrzenna, która ma 6 ścian w kształcie prostokątów, 12 krawędzi (czyli odcinków, gdzie stykają się ściany) i 8 wierzchołków (punktów, gdzie stykają się krawędzie). Ściany leżące naprzeciwko siebie są zawsze przystające, czyli mają identyczny kształt i rozmiar. Sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu, w którym wszystkie sześć ścian to kwadraty tej samej wielkości.

Siatka bryły to wzór, w którym wszystkie ściany bryły są rozłożone płasko obok siebie — złożona wzdłuż odpowiednich linii, tworzy z powrotem przestrzenną bryłę, tak jak pudełko przed sklejeniem. Siatka prostopadłościanu składa się z 6 prostokątów, ułożonych w 3 pary przystających (identycznych) ścian — górna z dolną, przednia z tylną, lewa z prawą.